Abbildung
Inhaltsverzeichnis
\(\\\)
Aufgabe 1 – Mittelpunkt
Geometrisch finden wir den Mittelpunkt des Parallelogramms, in der sich die Strecke \(\overline{AB}\) befindet, dort wo sich die beiden Diagonalen des Parallelogramms kreuzen. Alternativ können wir aber auch die Mitte der Strecke \(\overline{AB}\) ausmessen.
Wir berechnen \(M\) mit der Linearkombination
\( \quad \begin{array}{ r c l } \overrightarrow{m} & = & \overrightarrow{a} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} \\[8pt] & = & \overrightarrow{a} + \frac{1}{2} \left(\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}\right) \\[8pt] & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 11 \\ 11 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} +\dfrac{1}{2} \left[ \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -11 \\ 11 \\ 28 \end{array} \right) \end{smallmatrix} -\begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 11 \\ 11 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \right] \\[8pt] & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 11 \\ 11 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} +\dfrac{1}{2} \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -22 \\ 0 \\ 28 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \\[8pt] & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 11 \\ 11 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} +\begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -11 \\ 0 \\ 14 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \\[10pt] & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 0 \\ 11 \\ 14 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \\ \end{array} \)
\(\\\)
Der Mittelpunkt liegt bei \(M(0|11|14)\).
\(\\[2em]\)
Aufgabe 2 – Punktprobe
Um zu prüfen ob Punkt \(N\) auf der Strecke \(\overline{CD}\) liegt, stellen wir die Gerade durch Punkt \(C\) und \(D\) auf.
\( \quad \begin{array}{ r c l } g_{{ }_{CD}}: \quad \overrightarrow{x} & = & \overrightarrow{c} + t \cdot \overrightarrow{CD} \\[8pt] & = & \overrightarrow{c} + t \cdot \left(\overrightarrow{d} - \overrightarrow{c}\right) \\[8pt] & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 11 \\ -11 \\ 28 \end{array} \right) \end{smallmatrix} +t \cdot \left[ \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -11 \\ -11 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} -\begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 11 \\ -11 \\ 28 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \right] \\[10pt] & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 11 \\ -11 \\ 28 \end{array} \right) \end{smallmatrix} +t \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -22 \\ 0 \\ -28 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \\ \end{array} \)
\(\\\)
Für die Punktprobe setzen wir \(N(-9|-11|3)\) ein.
\( \quad \begin{array}{ r c l l } \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -9 \\ -11 \\ 3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 11 \\ -11 \\ 28 \end{array} \right) \end{smallmatrix} +t \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -22 \\ 0 \\ -28 \end{array} \right) \end{smallmatrix} & \Biggl| \; - \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 11 \\ -11 \\ 28 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \\[10pt] \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -20 \\ 0 \\ -25 \end{array} \right) \end{smallmatrix} & = & t \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -22 \\ 0 \\ -28 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \\ \end{array} \)
\(\\\)
Das führt zum Gleichungssystem
\( \quad \left. \begin{array}{ r r c c c l } \textrm{I} & -20 & = & -22 t & \quad \Leftrightarrow & \quad t \; = \; \frac{10}{11} \\[6pt] \textrm{II} & 0 & = & \; \; 0 \\[6pt] \textrm{III} & -25 & = & -28 t & \quad \Leftrightarrow & \quad t \; = \; \frac{25}{28} \\ \end{array} \; \right\} \; \textrm{Widerspruch} \)
\(\\\)
Punktes \(N\) kann nicht auf der Strecke \(\overline{CD}\) liegen.
\(\\[2em]\)
Aufgabe 3 – Länge des Streckenzuges
Wir berechnen die einzelnen Teilstrecken mit den Beträgen der Vektoren.
\( \quad \begin{array}{ r c l } \overline{AB} & = & \bigl|\overrightarrow{AB}\bigl| \; = \; \bigl|\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}\bigl| \\[10pt] & = & \begin{vmatrix} \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -11 \\ 11 \\ 28 \end{array} \right) \end{smallmatrix} -\begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 11 \\ 11 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{vmatrix} \; = \; \begin{vmatrix} \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -22 \\ 0 \\ 28 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{vmatrix} \\[10pt] & = & \sqrt{(-22)^2 + 0^2 + 28^2} \; = \; \sqrt{1268} \; \approx \; 35{,}61 \\ \end{array} \)
\(\\\)
\( \quad \begin{array}{ r c l } \overline{BC} & = & \bigl|\overrightarrow{BC}\bigl| \; = \; \bigl|\overrightarrow{c} - \overrightarrow{b}\bigl| \\[10pt] & = & \begin{vmatrix} \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 11 \\ -11 \\ 28 \end{array} \right) \end{smallmatrix}- \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -11 \\ 11 \\ 28 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{vmatrix} \; = \; \begin{vmatrix} \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 22 \\ -22 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{vmatrix} \\[10pt] & = & \sqrt{22^2 + (-22)^2 + 0^2} \; = \; \sqrt{968} \; \approx \; 31{,}11 \\ \end{array} \)
\(\\\)
\( \quad \begin{array}{ r c l } \overline{CD} & = & \bigl|\overrightarrow{CD}\bigl| \; = \; \bigl|\overrightarrow{d} - \overrightarrow{c}\bigl| \\[10pt] & = & \begin{vmatrix} \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -11 \\ -11 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix}- \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 11 \\ -11 \\ 28 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{vmatrix} \; = \; \begin{vmatrix} \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -22 \\ 0 \\ -28 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{vmatrix} \\[10pt] & = & \sqrt{(-22)^2 + 0^2 + (-28)^2} \; = \; \sqrt{1268} \; \approx \; 35{,}61 \\ \end{array} \)
\(\\\)
Die Länge des Streckenzuges beträgt
\( \quad 35{,}61 \; + \; 31{,}11 \; + \; 35{,}61 \; = \; 102{,}33 \, LE \)
\(\\\)